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證明:(1)充分性:由韋達定理,得|b|=|α·β|=|α|·|β|<2×2=4.
設f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線.
又|α|<2,|β|<2,∴f(±2)>0.
即有 4+b>2a>-(4+b)
又|b|<4 4+b>0 2|a|<4+b
(2)必要性:
由2|a|<4+b f(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.
∴方程f(x)=0的兩根α,β同在(-2,2)內或無實根.
∵α,β是方程f(x)=0的實根,
∴α,β同在(-2,2)內,即|α|<2且|β|<2.
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一、1.解析:若a2+b2=0,即a=b=0,此時f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x·|x|=-(x|x+0|+b)
=-(x|x+a|+b)=-f(x).
∴a2+b2=0是f(x)為奇函數的充分條件,又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數,即f(-x)=
(-x)|(-x)+a|+b=-f(x),則必有a=b=0,即a2+b2=0.
∴a2+b2=0是f(x)為奇函數的必要條件.
答案:D
2.解析:若a=1,則y=cos2x-sin2x=cos2x,此時y的最小正周期為π.故a=1是充分條件,反過來,由y=cos2ax-sin2ax=cos2ax.故函數y的最小正周期為π,則a=±1,故a=1不是必要條件.
答案:A
二、3.解析:當a=3時,直線l1:3x+2y+9=0;直線l2:3x+2y+4=0.∵l1與l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1,而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3 l1∥l2.
答案:充要條件
4.解析:若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交點,則F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0,即F(x,y)+λG(x,y)=0,過P(x0,y0);反之不成立.
答案:充分不必要
三、5.解:根據韋達定理得a=α+β,b=αβ.判定的條件是p: 結論是q: (注意p中a、b滿足的前提是Δ=a2-4b≥0)
(1)由 ,得a=α+β>2,b=αβ>1,∴q p
(2)為證明p q,可以舉出反例:取α=4,β= ,它滿足a=α+β=4+ >2,b=αβ=4× =2>1,但q不成立.
綜上討論可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分條件.
6.證明:①必要性:
設{an}成等差數列,公差為d,∵{an}成等差數列.
從而bn+1-bn=a1+n· d-a1-(n-1) d= d為常數.
故{bn}是等差數列,公差為 d.
②充分性:
設{bn}是等差數列,公差為d′,則bn=(n-1)d′
∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ①
bn-1(1+2+…+n-1)=a1+2a2+…+(n-1)an ②
①-②得:nan= bn-1
∴an= ,從而得an+1-an= d′為常數,故{an}是等差數列.
綜上所述,數列{an}成等差數列的充要條件是數列{bn}也是等差數列.
7.解:①必要性:
由已知得,線段AB的方程為y=-x+3(0≤x≤3)
由于拋物線C和線段AB有兩個不同的交點,
所以方程組 *有兩個不同的實數解.
消元得:x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)
設f(x)=x2-(m+1)x+4,則有
②充分性:
當3
x1= >0
∴方程x2-(m+1)x+4=0有兩個不等的實根x1,x2,且0
因此,拋物線y=-x2+mx-1和線段AB有兩個不同交點的充要條件3
8.解:若關于x的方程x2+mx+n=0有2個小于1的正根,設為x1,x2.
則0
根據韋達定理: 有-2
反之,取m=- <0
方程x2+mx+n=0無實根,所以p q
綜上所述,p是q的必要不充分條件.
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